Kostić je rođen 28. augusta 1939. godine u Rvašima kod Cetinja. Završio je Ekonomski fakultet u Beogradu, a obavljao je niz partijskih i državnih funkcija u Jugoslaviji i Crnoj Gori.

Bio je predsjednik Predsjedništva Crne Gore od 17. marta 1989. do 23. decembra 1990. i vršilac dužnosti predsjednika Predsjedništva SFRJ od 6. decembra 1991. do 15. juna 1992. godine, kada je ta funkcija ukinuta.

Kostić je bio svjedok odbrane u procesu Slobodanu Miloševiću pred Haškim tribunalom. Kostić je tada ustvrdio kako vodstvo u Beogradu 1991. nije znalo da JNA granatira Dubrovnik.

Tadašnji savezni ministar odbrane general Veljko Kadijević i načelnik glavnog štaba JNA general Blagoje Adžić uvjeravali su krnje Predsjedništvo SFRJ kako su zabranili da JNA otvara vatru na Dubrovnik, tokom opsade grada u jesen 1991., ispričao je Kostić odgovarajući na dodatno ispitivanje Miloševića. 

- Jesmo li mi dobili ijednu informaciju da JNA bombardira Dubrovnik? - pitao je Milošević, na što je Kostić odgovorio negativno.

On je također potvrdio Miloševićevu tvrdnju da tokom rata u Hrvatskoj ni jedan od ratnih zarobljenika odvedenih u logore u Srbiju nije ubijen.

- U zatvorima JNA na teritoriju Srbije nije ubijen nitko od zarobljenika iz Hrvatske - kazao je svjedok.

Kostić, koji se u Miloševićevoj optužnici za Hrvatsku navodi među učesnicima udruženog zločinačkog poduhvata, potvrdio je i Miloševićeve teze o miroljubivosti politike koju je Srbija vodila dok je on bio njen predsjednik 1990-ih jer, primjerice, u njoj u vrijeme rata nije bilo ubistava i progona nesrpskih stanovnika, iako su oni činili trećinu ukupnog stanovništva.