Brković je rođen u Seocima u Piperima 29. decembra 1933. godine. Osnovnu školu učio je u selu Kopilju, a završio u Seocima. Gimnaziju je pohađao u Titogradu i Sarajevu, gdje je završio Višu novinarsku školu.

Prve pjesme objavio je u "Pobjedi", "Omladinskom pokretu", "Stvaranju", sarajevskoj "Zori" i beogradskom "Ninu". Iz Sarajeva je prešao u Beograd, gdje je radio u Ministarstvu vanjskih poslova (Institut za međunarodni radnički pokret), Borbi, Novostima, Radu.

U Titograd se vraća 1958. godine i sve do penzionisanja radi u Radio Titogradu. Osnivač je revije Ovdje. Osnivač je i prvi upravnik Pionirskog pozorišta u Titogradu 1951. godine.

Pokretač je i urednik biblioteke Grlica, gdje su objavljivane prve knjige crnogorskih pjesnika. Bio je predsjednik UKCG-a, član Predsjedništva Saveza književnika Jugoslavije, a kao prvi čovjek UKCG-a pokrenuo je i uređivao ediciju Doclea.

Bio je dugogodišnji urednik kulturnog programa Radio Titograda. Inicijator je i jedan od osnivača Crnogorskog PEN centra, CDNK i DANU, čiji je prvi predsjednik. Bio je osnivač, vlasnik i glavni i odgovorni urednik Crnogorskog književnog lista.

Zbog političkih prilika u Crnoj Gori, Brković je 1991. emigrirao u Hrvatsku, gdje je živio i radio do 1999. godine. Za vanrednog člana Crnogorske akademije nauka i umjetnosti izabran je 18. decembra 2015. godine, a za redovnog 18. decembra 2018. godine.

Dobitnik je Trinaestojulske nagrade; Decembarske nagrade; Nagrade Udruženja književnika Crne Gore; Nagrade Ratkovićeve večeri poezije; Povelje Gorana Kovačića; Nagrade za najbolji dramski tekst na Sterijinom pozorju 1972. godine; Nagrade Rt dobre nade, 2005. godine (prvi je dobitnik Nagrade Rt dobre nade Ministarstva prosvjete i kulture Kosova, drugi dobitnik je Ismail Kadare, a treći dobitnik je američki pisac Džon Apdajk); Nagrade "Mediteranski prsten" 2007. godine (međunarodna nagrada). Brkoviću je 2010. godine dodijeljen status istaknutog stvaraoca. Dobitnik je Nagrade "Teuta", 2013. i Nagrade "Ali Podrimja" 2015.

Poznavao je osuđenog ratnog zločinca Radovana Karadžića kao studenta, ljekara i poluuspješnog pjesnika, te prijatelja.

Kada su počele burne godine dirigovane iz Beograda pod Slobodanom Miloševićem, dio Bosne je uvijek bio jedna beogradska stanica, koja je imala svoje poslušnike, smatra Brković.

- Radovan se počeo mijenjati i na jednom prijemu, naučnom skupu, kod akademika Muhameda Filipovića uoči samog rata, Radovan me pitao me kako sam, a ja sam mu rekao da sam ja dobro, ali da on nije. To je bio naš posljednji susret. Neshvatljivo je to šta je to u čovjeku koji je od jednog pjesnika, ljekara, Crnogorca iz sirotinjske porodice ispod Durmitora, mada mu je otac bio četnik, napravilo takvog zločinca da niko od nas, njegovih prijatelja, nije mogao ni osjetiti ni pretpostaviti da će sutra taj čovjek biti jedan od najvećih zločinaca u drugoj polovini 20. stoljeća - kazao je Brković u jednom od intervjua.